数学之美 第三3版吴军博士著 IT领域数学量子离散数学分析数学史数学思维好玩的数学 下载 pdf 百度网盘 epub 免费 2025 电子版 mobi 在线

八年前，“数学之美”系列文章原刊载于谷歌黑板报，获得上百万次点击，得到读者高度评价。读者说，读了“数学之美”，才发现大学时学的数学知识，比如马尔可夫链、矩阵计算，甚至余弦函数原来都如此亲切，并且栩栩如生，才发现自然语言和信息处理这么有趣。 在纸本书的创作中，作者几乎把所有文章都重写了一遍，为的是把高深的数学原理讲得更加通俗易懂，让非专业读者也能领略数学的魅力。读者通过具体的例子学到的是思考问题的方式 —— 如何化繁为简，如何用数学去解决工程问题，如何跳出固有思维不断去思考创新。 本书第一版荣获国家图书馆第八届文津图书奖。第二版增加了针对大数据和机器学习的内容。第三版增加了三章新内容，分别介绍当今非常热门的三个主题：区块链的数学基础，量子通信的原理，以及人工智能的数学极限。

I 第二版序言

III 第 一版序言

VI 第三版前言

1 第 1章 文字和语言 vs 数字和信息

文字和语言与数学，从产生起原本就有相通性，虽然它们的发展一度分道扬镳，但是最终还是能走到一起。

1　信息

2　文字和数字

3　文字和语言背后的数学

4　小结

15 第 2章 自然语言处理—从规则到统计

人类对机器理解自然语言的认识走了一条大弯路。早期的研究集中采用基于规则的方法，虽然解决了一些简单的问题，但是无法从根本上将自然语言理解实用化。直到 多年后，人们开始尝试用基于统计的方法进行自然语言处理，才有了突破性进展和实用的产品。

1　机器智能

2　从规则到统计

目 录

II 数学之美　第三版

3　小结

27 第3 章 统计语言模型

统计语言模型是自然语言处理的基础，并且被广泛应用

于机器翻译、语音识别、印刷体或手写体识别、拼写纠错、

汉字输入和文献查询。

1　用数学的方法描述语言规律

2　延伸阅读：统计语言模型的工程诀窍

3　小结

41 第4 章 谈谈分词

中文分词是中文信息处理的基础，它同样走过了一段弯

路，目前依靠统计语言模型已经基本解决了这个问题。

1　中文分词方法的演变

2　延伸阅读：如何衡量分词的结果

3　小结

50 第5 章 隐含马尔可夫模型

隐含马尔可夫模型最初应用于通信领域，继而推广到语

音和语言处理中，成为连接自然语言处理和通信的桥梁。

同时，隐含马尔可夫模型也是机器学习的主要工具之一。

1　通信模型

2　隐含马尔可夫模型

目 录III

3　延伸阅读：隐含马尔可夫模型的训练

4　小结

60 第6 章 信息的度量和作用

信息是可以量化度量的。信息熵不仅是对信息的量化度

量，也是整个信息论的基础。它对于通信、数据压缩、

自然语言处理都有很强的指导意义。

1　信息熵

2　信息的作用

3　互信息

4　延伸阅读：相对熵

5　小结

72 第7 章 贾里尼克和现代语言处理

作为现代自然语言处理的奠基者，贾里尼克教授成功地

将数学原理应用于自然语言处理领域中，他的一生富于

传奇色彩。

1　早年生活

2　从水门事件到莫妮卡·莱温斯基

3　一位老人的奇迹

82 第8 章 简单之美— 布尔代数和搜索引擎

布尔代数虽然非常简单，却是计算机科学的基础，它不

仅把逻辑和数学合二为一，而且给了我们一个全新的视

角看待世界，开创了数字化时代。

IV 数学之美　第三版

1　布尔代数

2　索引

3　小结

89 第9 章 图论和网络爬虫

互联网搜索引擎在建立索引前需要用一个程序自动地将

所有的网页下载到服务器上，这个程序称为网络爬虫，

它的编写是基于离散数学中图论的原理。

1　图论

2　网络爬虫

3　延伸阅读：图论的两点补充说明

4　小结

98 第 10章 PageRank — Google 的民主表决式网

页排名技术

网页排名技术 是早期 的杀手锏，它

的出现使得网页搜索的质量上了一个大的台阶。它背后

的原理是图论和线性代数的矩阵运算。

1　PageRank 算法的原理

2　延伸阅读：PageRank 的计算方法

3　小结

104 第 11 章 如何确定网页和查询的相关性

确定网页和查询的相关性是网页搜索的根本问题，其中确

目 录V

定查询中每个关键词的重要性有多高是关键。 是目

前通用的关键词重要性的度量，其背后的原理是信息论。

1　搜索关键词权重的科学度量TF-IDF

2　延伸阅读：TF-IDF 的信息论依据

3　小结

111 第 12章 有限状态机和动态规划— 地图与本地

搜索的核心技术

地图和本地服务中要用到有限状态机和动态规划技术。

这两项技术是机器智能和机器学习的工具，它们的应用

非常广泛，还包括语音识别、拼写和语法纠错、拼音输

入法、工业控制和生物的序列分析等。

1　地址分析和有限状态机

2　全球导航和动态规划

3　延伸阅读：有限状态传感器

4 小结

121 第 13 章 Google AK-47 的设计者— 阿米特·

　辛格博士

在所有轻武器中最有名的是 冲锋枪，因为它从不

卡壳，不易损坏，可在任何环境下使用，可靠性好，杀

伤力大并且操作简单。 的产品就是按照上述原

则设计的。

VI 数学之美　第三版

127 第 14 章 余弦定理和新闻的分类

计算机虽然读不懂新闻，却可以准确地对新闻进行分类。

其数学工具是看似毫不相干的余弦定理。

1　新闻的特征向量

2　向量距离的度量

3　延伸阅读：计算向量余弦的技巧

4　小结

136 第 15章 矩阵运算和文本处理中的两个分类问题

无论是词汇的聚类还是文本的分类，都可以通过线性代

数中矩阵的奇异值分解来进行。这样一来，自然语言处

理的问题就变成了一个数学问题。

1　文本和词汇的矩阵

2　延伸阅读：奇异值分解的方法和应用场景

3　小结

142 第 16 章 信息指纹及其应用

世间万物都有一个唯一标识的特征，信息也是如此。每

一条信息都有它特定的指纹，通过这个指纹可以区别不

同的信息。

1　信息指纹

2　信息指纹的用途

3　延伸阅读：信息指纹的重复性和相似哈希

4　小结

目 录VII

153 第 17 章 由电视剧《暗算》所想到的— 谈谈

原理

密码学的根本是信息论和数学。没有信息论指导的密码

是非常容易被破解的。只有在信息论被广泛应用于密码

学后，密码才真正变得安全。

1　密码学的自发时代

2　信息论时代的密码学

3　小结

162 第 18章 闪光的不一定是金子— 谈谈搜索引擎

反作弊问题和搜索结果的权威性问题

闪光的不一定是金子，搜索引擎中排名靠前的网页也

未必是有用的网页。消除这些作弊网页的原理和通信

中过滤噪音的原理相同。这说明信息处理和通信的很

多原理是相通的。

1　搜索引擎的反作弊

2　搜索结果的权威性

3　小结

171 第 19 章 谈谈数学模型的重要性

正确的数学模型在科学和工程中至关重要，而发现正确

模型的途径常常是曲折的。正确的模型在形式上通常是

简单的。

179 第 20章 不要把鸡蛋放到一个篮子里— 谈谈最

密码学的数学原理

VIII 数学之美　第三版

大熵模型

熵模型是一个完美的数学模型。它可以将各种信息

整合到一个统一的模型中，在信息处理和机器学习中有

着广泛的应用。它在形式上非常简单、优美，而在实现

时需要有精深的数学基础和高超的技巧。

1　熵原理和熵模型

2　延伸阅读：熵模型的训练

3　小结

186 第 21 章 拼音输入法的数学原理

汉字的输入过程本身就是人和计算机之间的通信。好的

输入法会自觉或不自觉地遵循通信的数学模型。当然要

做出最有效的输入法，应当自觉使用信息论做指导。

1　输入法与编码

2　输入一个汉字需要敲多少个键— 谈谈香农

第 一定理

3　拼音转汉字的算法

4　延伸阅读：个性化的语言模型

5　小结

197 第 22章 自然语言处理的教父马库斯和他的优秀

弟子们

将自然语言处理从基于规则的研究方法转到基于统计的

研究方法上，宾夕法尼亚大学的教授米奇·马库斯功不

目 录IX

可没。他创立了今天在学术界广泛使用的 语料库，

同时培养了一大批精英人物。

1　教父马库斯

2　从宾夕法尼亚大学走出的精英们

204 第 23 章 布隆过滤器

日常生活中，经常要判断一个元素是否在一个集合中。

布隆过滤器是计算机工程中解决这个问题最好的数学工

具。

1　布隆过滤器的原理

2　延伸阅读：布隆过滤器的误识别问题

3　小结

209 第 24 章 马尔可夫链的扩展— 贝叶斯网络

贝叶斯网络是一个加权的有向图，是马尔可夫链的扩展。

而从认识论的层面看：贝叶斯网络克服了马尔可夫链那

种机械的线性约束，它可以把任何有关联的事件统一到

它的框架下面。它在生物统计、图像处理、决策支持系

统和博弈论中都有广泛的使用。

1　贝叶斯网络

2　贝叶斯网络在词分类中的应用

3　延伸阅读：贝叶斯网络的训练

4　小结

X 数学之美　第三版

217 第 25 章 条件随机场、文法分析及其他

条件随机场是计算联合概率分布的有效模型，而句法

分析似乎是英文课上英语老师教的东西，这两者有什

么联系呢？

1　文法分析— 计算机算法的演变

2　条件随机场

3　条件随机场在其他领域的应用

4　小结

227 第 26 章 维特比和他的维特比算法

维特比算法是现代数字通信中使用最频繁的算法，同时

也是很多自然语言处理的解码算法。可以毫不夸张地讲，

维特比是对我们今天生活的影响力的科学家之一，

因为如今基于 的 移动通信标准主要就是他创

办的高通公司制定的。

1　维特比算法

2　CDMA 技术— 3G 移动通信的基础

3　小结

238 第 27 章 上帝的算法— 期望化算法

只要有一些训练数据，再定义一个化函数，采用

算法，利用计算机经过若干次迭代，就可以得到所

需要的模型。这实在是太美妙了，这也许是我们的造物

主刻意安排的。所以我把它称作上帝的算法。

目 录XI

1　文本的自收敛分类

2　延伸阅读：期望化和收敛的必然性

3　小结

244 第 28 章 逻辑回归和搜索广告

逻辑回归模型是一种将影响概率的不同因素结合在一起

的指数模型，它不仅在搜索广告中起着重要的作用，而

且被广泛应用于信息处理和生物统计中。

1　搜索广告的发展

2　逻辑回归模型

3　小结

249 第 29 章 各个击破算法和Google 云计算的基础

颇为神秘的云计算中最重要的 工具，

其原理就是计算机算法中常用的“各个击破”算法，它

的原理原来这么简单— 将复杂的大问题分解成很多小

问题分别求解，然后再把小问题的解合并成原始问题的

解。由此可见，在生活中大量用到的、真正有用的方法

常常都是简单朴实的。

1　分治算法的原理

2　从分治算法到MapReduce

3　小结

254 第30 章 Google 大脑和人工神经网络

大脑并不是一个什么都能思考的大脑，而是一

XII 数学之美　第三版

个很能计算的人工神经网络。因此，与其说 大

脑很聪明 不如说它很能算。不过，换个角度来说，随

着计算能力的不断提高，计算量大但简单的数学方法有

时能够解决很复杂的问题。

1　人工神经网络

2　训练人工神经网络

3　人工神经网络与贝叶斯网络的关系

4　延伸阅读：“Google 大脑”

5　小结

273 第31章 区块链的数学基础— 椭圆曲线加密原理

希尔伯特讲，“我们直到能够把一门自然科学的数学内

核剥出并完全地揭示出来，才能够掌握它。”以比特币

为代表的加密货币的基础是数学的算法，只有搞清楚加

密货币的数学内核，我们才能了解它的本质。

1 不对称、不透明之美

2 椭圆曲线加密的原理

3 小结

281 第32 章 大数据的威力— 谈谈数据的重要性

如果说在过去的 年里，主导全球 产业发展的是摩

尔定律，那么在今后的 年里，主导 行业继续发展

的动力则将来自于数据。

1　数据的重要性

目 录XIII

2　数据的统计和信息技术

3　为什么需要大数据

4　小结

303 第33章 随机性带来的好处— 量子密钥分发

的数学原理

人们总是喜欢确定性而不喜欢随机性。但是从对

确定性规律的把握上升到对随机性规律的把握，

恰恰是近代数学进步的标志。量子通信，就是建

立在把握了有关随机性规律的基础之上的。

1 用（激光）量子的偏振方向传递信息

2 利用随机性保证信息安全

3　小结

311 第34章 数学的极限— 希尔伯特第十问题和

机器智能的极限

世界上只有一小部分问题是数学问题，而数学问题

中又只有极小的一部分问题有解。在这些问题中，

今天已经找到相应算法的少之又少。因此，数学

不是的，我需要了解数学的边界在哪里。

1 图灵划定计算机可计算问题的边界

2 希尔伯特划定有解数学问题的边界

3 小结

XIV 数学之美　第三版

322 附录 计算复杂度

326 第三版后记

332 索引

吴军，学者，投资人，人工智能、语音识别和互联网搜索专家。毕业于清华大学和美国约翰?霍普金斯大学，现任丰元资本创始合伙人、上海交通大学客座教授、约翰?霍普金斯大学工学院董事等职。 吴军博士曾作为资深研究员和副总裁分别任职于Google公司和腾讯公司。在Google公司，他和同事一同开创了搜索反作弊研究领域，成立了中、日、韩文产品部门，设计了Google中、日、韩文搜索算法，领导了Google自然语言处理和自动问答等研究型项目，拥有近20项美国发明专利。在腾讯公司，他负责了搜索、搜索广告和街景地图等项目。作为风险投资人，他成功地投资了150家硅谷和中国的高科技企业。吴军博士对科技产业有深入的研究，是当今硅谷地区解读IT产业的专家。 吴军博士著有《数学之美》《大学之路》《文明之光》《智能时代》《见识》《态度》和《全球科技通史》等多部畅销书，并多次获得包括文津奖、中国好书奖、中华优秀出版物在内的图书大奖。

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编辑推荐

这是一本备受推崇的经典科普作品，被众多机构推荐为数学学科的敲门砖，是信息领域大学生的好书。

数学既是对于自然界事实的总结和归纳，又是抽象思考的结果。在《数学之美》里，吴军博士集中阐述了他对数学和信息处理这些专业学科的理解，把数学在IT领域，特别是语音识别、自然语言处理和信息搜索等方面的美丽之处予以了精彩表达，这些都是智能时代的热门技术话题。

本书还用了大量篇幅介绍各个领域的典故，是文科生也可以看懂的科普读物。成为一个领域的大师有其偶然性，但更有其必然性。其必然性就是大师们的思维方法。通过本书，可以了解他们的平凡与卓越，理解他们取得成功的原因，感受那些真正懂得数学之美的人们所拥有的美好人生。

本书先后荣获国家图书馆第八届文津图书奖、第五届中华优秀出版物奖图书提名奖、入选“2014年向全国青少年推荐百种优秀图书书目”、第一版曾荣获2012-2013年度全行业畅销书，《数学之美》多次被推选为书。《数学之美》给广大读者，尤其是在校读大学甚至读高中的年轻人带去了美的数学启示，作者更希望中国做工程的年轻人，能够从《数学之美》中体会到在信息技术行业做事情的正确方法，以便在职业和生活上都获得成功。

第三版增加了三章新内容，分别介绍当今非常热门的三个主题：区块链的数学基础，量子通信的原理，以及人工智能的数学极限。