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本书是为准备攻读研究生的同学准备的数学入门读物。本书用通俗的语言和非严谨的介绍，给出了多个数学分支的概貌。这些数学分支包括：线性代数、实分析、向量函数微积分、点集拓扑、经典Stokes定理、微分形式和Stokes定理、曲线和曲面的曲率、几何学、复分析、可数和选择公理、代数、Lebesgue积分、Fourier分析、微分方程、组合数学和概率论、算法。本书适合攻读电子类、信息类、材料类、生物类、化工类、机械类等工程类专业研究生的读者阅读。本书也可作为一学期课程的教材使用。

前言

关于数学的结构

主题概要

0.1线性代数

0.2实分析

0.3向量值函数的微积分

0.4点集拓扑

0.5经典Stokes定理

0.6微分形式和Stokes定理

0.7曲线和曲面的曲率

0.8几何学

0.9复分析

0.10可数性和选择公理

0.11代数

0.12勒贝格积分

0.13傅里叶分析

0.14微分方程

0.15组合学和概率论

0.16算法

第1章线性代数

1.1介绍

1.2基本向量空间Rn

1.3向量空间和线性变换

1.4基、维数和表示为矩阵的线性变换

1.5行列式

1.6线性代数基本定理

1.7相似矩阵

1.8特征值和特征向量

1.9对偶向量空间

1.10推荐阅读

1.11练习

第2章ε和δ实分析

2.1极限

2.2连续性

2.3微分

2.4积分

2.5微积分基本定理

2.6函数的点态收敛

2.7一致收敛

2.8WeierstrassM判别法

2.9Weierstrass的例子

2.10推荐阅读

2.11练习

第3章向量值函数的微积分

3.1向量值函数

3.2向量值函数的极限和连续性

3.3微分和Jacobi矩阵

3.4反函数定理

3.5隐函数定理

3.6推荐阅读

3.7练习

第4章点集拓扑

4.1基础定义

4.2Rn上的标准拓扑

4.3度量空间

4.4拓扑基

4.5交换环的Zariski拓扑

4.6推荐阅读

4.7练习

第5章经典Stokes定理

5.1关于向量微积分的准备工作

5.1.1向量场

5.1.2流形和边界

5.1.3路径积分

5.1.4曲面积分

5.1.5梯度

5.1.6散度

5.1.7旋度

5.1.8可定向性

5.2散度定理和Stokes定理

5.3散度定理的物理解释

5.4Stokes定理的物理解释

5.5散度定理的证明梗概

5.6Stokes定理的证明梗概

5.7推荐阅读

5.8练习

第6章微分形式和Stokes定理

6.1平行六面体的体积

6.2微分形式和外导数

6.2.1初等k—形式

6.2.2k—形式的向量空间

6.2.3处理k—形式的准则

6.2.4微分k—形式和外导数

6.3微分形式和向量场

6.4流形

6.5切空间和定向

6.5.1隐式和参数化流形的切空间

6.5.2抽象流形的切空间

6.5.3向量空间的定向

6.5.4流形和它的边界的定向

6.6流形上的积分

6.7Stokes定理

6.8推荐阅读

6.9练习

第7章曲线和曲面的曲率

7.1平面曲线

7.2空间曲线

7.3曲面

7.4GaussBonet定理

7.5推荐阅读

7.6练习

第8章几何学

8.1欧式几何

8.2双曲几何

8.3椭圆几何

8.4曲率

8.5推荐阅读

8.6练习

第9章复分析

9.1解析函数

9.2柯西—黎曼方程

9.3复变函数的积分表示

9.4解析函数的幂级数表示

9.5保角映射

9.6黎曼映射定理

9.7多复变数：哈托格斯定理

9.8推荐阅读

9.9练习

第10章可数性和选择公理

10.1可数性

10.2朴素集合论与悖论

10.3选择公理

10.4不可测集

10.5哥德尔和独立性证明

10.6推荐阅读

10.7练习

第11章代数

11.1群

11.2表示论

11.3环

11.4域和迦罗瓦理论

11.5推荐阅读

11.6练习

第12章勒贝格积分

12.1勒贝格测度

12.2康托集

12.3勒贝格积分

12.4收敛理论

12.5推荐阅读

12.6练习

第13章傅里叶分析

13.1波函数，周期函数和三角学

13.2傅里叶级数

13.3收敛问题

13.4傅里叶积分和变换

13.5求解微分方程

13.6推荐阅读

13.7练习

第14章微分方程

14.1基本知识

14.2常微分方程

14.3拉普拉斯算子

14.3.1平均值原理

14.3.2变量分离

14.3.3在复分析上的应用

14.4热传导方程

14.5波动方程

14.5.1来源

14.5.2变量代换

14.6求解失败：可积性条件

14.7Lewy的例子

14.8推荐阅读

14.9练习

第15章组合学和概率论

15.1计数

15.2概率论基础

15.3独立性

15.4期望和方差

15.5中心极限定理

15.6n！的Stirling近似

15.7推荐阅读

15.8练习

第16章算法

16.1算法和复杂度

16.2图：欧拉和哈密顿回路

16.3排序和树

16.4P=NP？

16.5数值分析：牛顿法

16.6推荐阅读

16.7练习

附录等价关系

参考文献

托马斯·A.加里蒂（Thomas A.Garrity）

美国马萨诸塞州威廉姆斯学院数学教授，是该学院“有效教学”项目的主管。于德克萨斯大学奥斯汀分校获得学士学位，于布朗大学获得博士学位。他曾与1986年至1989年间，担任莱斯大学Evans讲席教师。曾获得美国数学协会（MAA）颁发的大学杰出教学奖（MAA Deborah and Franklin Tepper Haimo Award for outstandingcollege or university teaching）。

除了众多的学术论文外，还写了一本教材《Algebraic Geometry: A Problem Solving Approach》。

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Preface

Math is Exciting.We are living in the greatest age of mathematicsever seen. In the 1930s, there were some people who feared that the rising

abstractions of the early twentieth century would either lead to mathematicians working on sterile(贫瘠的), silly intellectual exercises or to mathematics

splitting into sharply distinct subdisciplines, similar to the way natural philosophy split into physics, chemistry, biologyand geology. But the very

opposite has happened. Since World War II, it has become increasingly clear that mathematics is one unified discipline. What were separate areas

now feed off of each other. Learning and creating mathematicsis indeed a worthwhile way to spend one'slife ..

Math is Hard. Unfortunately,people are just not that good at mathematics. While intensely enjoy...

书籍介绍

本书是为准备攻读研究生的同学准备的数学入门读物。本书用通俗的语言和非严谨的介绍，给出了多个数学分支的概貌。这些数学分支包括：线性代数、实分析、向量函数微积分、点集拓扑、经典Stokes定理、微分形式和Stokes定理、曲线和曲面的曲率、几何学、复分析、可数和选择公理、代数、Lebesgue积分、Fourier分析、微分方程、组合数学和概率论、算法。本书适合攻读电子类、信息类、材料类、生物类、化工类、机械类等工程类专业研究生的读者阅读。本书也可作为一学期课程的教材使用。